ПАРАДОКСАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ ЛІНІЇ ПЕРЕСЛІДУВАННЯ В ЗАДАЧІ ПЕРЕХОПЛЕННЯ ВТІКАЧА НА ГОРИЗОНТАЛЬНІЙ ПЛОЩИНІ

Віктор Легеза

doi:10.20535/kpisn.2025.1.321963

Т. 138 · № 1 · 2025 кві 24, 2025 статті

ПАРАДОКСАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ ЛІНІЇ ПЕРЕСЛІДУВАННЯ В ЗАДАЧІ ПЕРЕХОПЛЕННЯ ВТІКАЧА НА ГОРИЗОНТАЛЬНІЙ ПЛОЩИНІ

ВЛ

Віктор Легеза Відповідальний Ihor Sikorsky National Technical University of Ukraine, Faculty of Applied Mathematics, Department of Computer Systems Software, Ukraine Україна

Опублікованокві 24, 2025

PDF

НВКПІ 1 ТОМ 138 · 1

ТОМ 138 · № 1 · 2025 Переглянути випуск

Анотація

Проблематика. Крива переслідування – це лінія, вздовж якої рухається переслідувач під час переслідування втікача. Розглядається новий підхід до побудови, інтегрування і аналізу диференціального рівняння кривої переслідування в класичній задачі перехоплення втікача на площині. У запропонованому формулюванні він є новим і актуальним з практичної точки зору в таких сферах, як транспорт, логістика, військова справа, спортивні заходи тощо. Мета дослідження . Метою роботи є визначення оптимального кута нахилу прямої, по якій має рухатись втікач, щоб максимально наблизитися до лінії «життя» до його затримання переслідувачем. Методика реалізації. Для досягнення поставленої мети використовувалися класичні методи інтегрування диференціальних рівнянь в параметричній формі, а також графічно-числовий інструментарій, які надає пакет програмного забезпечення MathCad. Результати дослідження . Сформульовано диференціальне рівняння кривої переслідування та встановлено його розв’язок в замкненій параметричній формі. Проведено його числовий аналіз і досліджено вплив параметрів (співвідношення швидкостей переслідувача та втікача) та на поведінку кривої переслідування. Проаналізовано залежність зміни відстані вздовж горизонтальної осі на момент затримання втікача в залежності від величини кутового коефіцієнта прямої його руху за фіксованого коефіцієнта . Висновки . В результаті дослідження з’ясовано, що якщо коефіцієнт (тобто швидкість переслідувача значно перевищує швидкість втікача), то відстань , на якій останнього буде затримано, прямує до нуля. З іншого боку, якщо (тобто швидкості катерів є рівними), то зазначена відстань прямує у нескінченність, тобто затримання втікача не відбудеться. Залежність зміни відстані вздовж горизонтальної осі від коефіцієнта має чітко виражений локальний максимум за умови , який вказує на те, що існує певний ненульовий кут нахилу прямої втечі, який дає можливість втікачу досягти максимального переміщення в бік «лінії життя». Таким чином, спостерігаємо парадоксальне явище: для вдалої втечі стратегія вибору кута нахилу прямої рівним нулю (тобто рух по найкоротшому відрізку, що з’єднує дві паралельні лінії) не є правильною.

Ключові слова

#перехоплення втікача на площині #крива переслідування #катер-переслідувач #катер-втікач #лінія втечі #лінія життя #швидкості катерів #локальний максимум

Посилання

References
A. Bernhart, Curves of pursuit, Scripta Math. 20 (1954) 125-141.
A. Bernhart, Curves of pursuit-II, Scripta Math. 23 (1957) 49-65.
A. Bernhart, Polygons of pursuit, Scripta Math. 24 (1959) 23-50.
A. Bernhart, Curves of general pursuit, Scripta Math. 24 (1959) 180-206.
J.C. Clapham, Playful mice, Recreat. Math. Mag. (August 1962) 6-7.
Zuzana Malacká. Pursuit Curves and Ordinary Differential Equations // Komunikacie 14(1): 66-68, University of Žilina, March 2012, https://doi.org/10.26552/com.C.2012.1.66-68
Nahin P. J. Chases and Escapes: The Mathematics of Pursuit and Evasion. Princeton-New Jersey: (Princeton Puzzlers), 2012. 272 p.
A.M. Bruckstein, N. Cohen and A. Efrat. Ants, crickets and frogs in cyclic pursuit, Preprint, Techion CIS Report #9105 (July 1991).
A.M. Bruckstein, Why the ant trails look so straight and nice, Math. Intelligencer 15(2) (1993) 59-62.
F. Behroozi and R. Gagnon, Cyclic pursuit in a plane, J. Math. Phys. 20 (November 1979) 2212-2216.
F. Behroozi and R. Gagnon, A computer-assisted study of pursuit in a plane, Amer. Math. Monthly (October 1975) 804-812.
M.S. Klamkin and D.J. Newman, Cyclic pursuit or “The Three Bugs Problem”, Amer. Math. Monthly (June 1971) 631-639.
DOI: https://www.jstor.org/stable/2316570
O. Hajek, Pursuit Games: An Introduction to the Theory and Applications of Differential Games of Pursuit and Evasion, New York: Academic Press (1975).
A.L.Yalovets. On the formulation of the pursuit problem on the plane // Programming problems. 2013. No. 2, 95p.- 100. ISSN 1727-4907.
S.V.Pashko, A.L.Yalovets. Numerical methods for solving pursuit optimization problems // Problems of programming. 2013, No. 4, pp. 74 - 85. ISSN 1727-4907.
A.S.Kuchkarov, B.B.Rikhsiev. A Pursuit Problem under Phase Constraints // Automation and Remote Control, 2001, 62(8):1259-1262;
https://doi.org/10.1023/A:1010297326898
L.A.Petrosyan. Differential Games of Pursuit (World Scientific Publisher, Singapore, London, 1993, 340 p. https://doi.org/10.1142/1670
Isaacs R., Differential Games, John Wiley and Sons, New York, 1967, p. 260.
David C. Arney. The Chase Problem (Part 1). pp. 109 – 128.
R. Craig Conlter. Implementation of the Pure Pursuit Path Tracking Algorithm. CMU-RI-TR-92-01, The Robotics Institute Carnegie Mellon University Pittsburgh, Pennsylvania 15213, January 1992
A. Merz. The game of two identical cars // Journal of Optimization Theory and Applications, 1972, V.9, pp. 324 – 343. https://doi.org/10.1007/BF00932932
P. Hagedorn, J.V. Breakwell. A Differential Game with Two Pursuers and One Evader // Multicriteria Decision Making and Differential Games,1976, pp. 443 – 457; https://doi.org/10.1007/978-1-4615-8768-2_27
V.P. Legeza, O.M. Neshchadym. The problem of fugitive interception on a plane in the one-dimensional vector field of a moving fluid. Scientific Notes of the V.I. Vernadsky TNU. Series: Technical Sciences. Volume 34 Scientific Notes of the V.I. Vernadsky TNU. Series: Technical Sciences. Volume 34 (73), № 3, 2023. – pp.168 – 174. https://doi.org/10.32782/2663-5941/2023.3.1/27
V. Legeza, L.Oleshchenko. Paradoxical Properties Research of the Pursuit Curve in the Intercepting a Fugitive Problem. Z. Hu et al. (Eds.): ICCSEEA 2023, LNDECT 181, pp. 670–681, 2023. https://doi.org/10.1007/978-3-031-36118-0_60
Legeza V. P. The technique of applying the Laplace transform in the pursuit of the "Four mice" / Legeza V. P., Sayuk D., Neshchadym O. M. // Applied mathematics and computing AMC' 2023: a collection of abstracts of reports of the Sixteenth Conference of Master's and Postgraduate Students (November 28-30, 2023, Kyiv, Ukraine). - Kyiv: Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute, 2023. - pp. 502-506.

Наступна у випуску Зсув за одиницями часу в іграх трьох осіб у скінченних і незліченно нескінченних просторах сходинкових функцій, що розв’язуються у чистих стратегіях

§ 06 — Пов'язані

Схожі статті в цьому журналі

Пов'язані рецензовані дослідження, опубліковані в цьому журналі.

Усі випуски

МЕТОДИКА ПАРАМЕТРИЧНОГО СИНТЕЗУ ЗУМ-АФОКАЛЬНИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ НЕРУХОМИХ ВАРІОЛІНЗ

Ігор Г. Чиж

Проблематика Зум-оптичні системи, в яких використовуються механічно нерухомі електрично керовані варіолінзи, не можуть вважатися такими, що мають нерухомі оптичні…

#зум-афокальні системи #головні точки варіолінз #синтез зум-афокальних систем #стабільна афокальність зум-системи

10.20535/kpisn.2026.3.351645

МОДИФІКАЦІЯ НЕЙРОМЕРЕЖЕВОГО МЕТОДУ SPINN ДЛЯ НАБЛИЖЕНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ МІШАНОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ В ЕЛІПТИЧНІЙ ОБЛАСТІ

Валерій Лось, Олександр Ряхін

Проблематика. Параболічні диференціальні рівняння є математичними моделями інженерії, призначеними для дослідження широкого кола прикладних задач. Це приводить до…

#рівняння теплопровідності #мішана параболічна задача #еліптична область #фізико-інформативна нейронна мережа

10.20535/kpisn.2026.3.367316

ДВОЕТАПНИЙ ПІДХІД ДО СЕГМЕНТАЦІЇ СУПУТНИКОВИХ ЗНІМКІВ ДЛЯ ОЦІНЮВАННЯ ПЛОЩІ АСФАЛЬТОВАНОГО ПОКРИТТЯ ПАРКОВОК

Олександр Гончарук, Надія Недашківська

Проблематика. Точна оцінка площі асфальтованих парковок є важливою для містобудування та екологічного моніторингу. Однак спектральна подібність асфальту паркувальних…

#семантична сегментація #супутникові знімки #паркінг #нейронна мережа

10.20535/kpisn.2026.3.367540

Схожі статті

Вадим Романюк, ФОРМАЛІЗАЦІЯ РОЗРІДЖЕНОГО ANP З БІНАРНИМИ ПОРІВНЯННЯМИ НА ОСНОВІ ДАНИХ У КОЛІ ОДНОРІДНИХ КОМПОНЕНТІВ ДЛЯ ПРІОРИТИЗАЦІЇ РОЗПОДІЛУ РЕСУРСІВ , Наукові вісті КПІ: Том 144 № 3 (2026)
Yevhen I. Bilous, Oleh I. Nesterenko, СПРОЩЕННЯ МОДЕЛІ ВИМІРЮВАННЯ В АЛГОРИТМІ КВАТЕРНІОННОГО ФІЛЬТРА КАЛМАНА БЕЗПЛАТФОРМНОЇ КУРСОВЕРТИКАЛІ , Наукові вісті КПІ: № 1 (2019)
Anastas A. Romansky, Lyubov I. Karbivska, Volodymyr L. Karbivskyy, Olena Ya. Kuznetsova, Viktor V. Stonis, Arsen P. Soroka, КВАНТОВОМЕХАНІЧНІ РОЗРАХУНКИ АТОМНОЇ СТРУКТУРИ ТА ЕЛЕКТРОННОЇ БУДОВИ КАРБОНАТВМІСНИХ АПАТИТІВ КАЛЬЦІЮ , Наукові вісті КПІ: № 1 (2019)
Roman M. Galagan, Andrii S. Momot, АНАЛІЗ ЗАСТОСУВАННЯ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ ДЛЯ ПІДВИЩЕННЯ ДОСТОВІРНОСТІ АКТИВНОГО ТЕПЛОВОГО НЕРУЙНІВНОГО КОНТРОЛЮ , Наукові вісті КПІ: № 1 (2019)
Sergii F. Petrenko, Anatolii V. Omelian, Olha O. Horbatiuk, Viktor S. Antonyuk, ДОСЛІДЖЕННЯ РЕЗОНАНСНИХ ХАРАКТЕРИСТИК П’ЄЗОЕЛЕКТРИЧНОГО ДВИГУНА ЗАЛЕЖНО ВІД РЕСУРСНОГО СТАНУ , Наукові вісті КПІ: № 1 (2019)
Vadim V. Romanuke, НАБІР ДАНИХ НЕСКІНЧЕННОГО МАСШТАБУВАННЯ ІЗ ЗОБРАЖЕНЬ У ГРАДАЦІЯХ СІРОГО З ОДНИМ БАГА¬ТО-КУТНИКОМ ЯК ШВИДКА ТЕСТОВА ПЛАТФОРМА ДЛЯ СЕМАНТИЧНОЇ СЕГМЕНТАЦІЇ ЗОБРАЖЕНЬ , Наукові вісті КПІ: № 1 (2019)
Євген Панкратов, Григорій Тимчик, МІКРОСЕРВІСНА АРХІТЕКТУРА ТА АЛГОРИТМИ МОДУЛЬНОЇ СИСТЕМИ АВТОМАТИЗАЦІЇ ТЕХНОЛОГІЧНИХ ПРОЦЕСІВ МАЛОГО БІЗНЕСУ , Наукові вісті КПІ: Том 143 № 2 (2026)
Костянтин Бровко, Павло Буданов, Олег Великогорський, Юлія Олійник, Наталія Винокурова, Сергій Войтенко, ІМІТАЦІЙНА МОДЕЛЬ ЦИФРОВОГО ДВІЙНИКА ТЕХНОЛОГІЧНОГО ПРОЦЕСУ ЕНЕРГОБЛОКУ АЕС , Наукові вісті КПІ: Том 143 № 2 (2026)
Дмитро Петренко, Анатолій Протасов, АЛГОРИТМ БЕЗКАРТОГРАФІЧНОЇ НАВІГАЦІЇ РОБОТА HUSKY НА ОСНОВІ МОДЕЛЕЙ ГЛИБОКОГО НАВЧАННЯ З ПІДКРІПЛЕННЯМ ТА АДАПТИВНОГО НАВЧАЛЬНОГО ПЛАНУ , Наукові вісті КПІ: Том 143 № 2 (2026)
Віталій Голубінка, АВТОНОМНА СИСТЕМА РЕКОМЕНДАЦІЇ ІНДЕКСІВ ДЛЯ РЕЛЯЦІЙНИХ БАЗ ДАНИХ НА ОСНОВІ COST-MODEL ТА PLAN COVERING , Наукові вісті КПІ: Том 143 № 2 (2026)

1-10 з 142 Наступне

Ви також можете розпочати розширений пошук схожих статей для цієї статті.

[1] References

[2] A. Bernhart, Curves of pursuit, Scripta Math. 20 (1954) 125-141.

[3] A. Bernhart, Curves of pursuit-II, Scripta Math. 23 (1957) 49-65.

[4] A. Bernhart, Polygons of pursuit, Scripta Math. 24 (1959) 23-50.

[5] A. Bernhart, Curves of general pursuit, Scripta Math. 24 (1959) 180-206.

[6] J.C. Clapham, Playful mice, Recreat. Math. Mag. (August 1962) 6-7.

[7] Zuzana Malacká. Pursuit Curves and Ordinary Differential Equations // Komunikacie 14(1): 66-68, University of Žilina, March 2012, https://doi.org/10.26552/com.C.2012.1.66-68

[8] Nahin P. J. Chases and Escapes: The Mathematics of Pursuit and Evasion. Princeton-New Jersey: (Princeton Puzzlers), 2012. 272 p.

[9] A.M. Bruckstein, N. Cohen and A. Efrat. Ants, crickets and frogs in cyclic pursuit, Preprint, Techion CIS Report #9105 (July 1991).

[10] A.M. Bruckstein, Why the ant trails look so straight and nice, Math. Intelligencer 15(2) (1993) 59-62.

[11] F. Behroozi and R. Gagnon, Cyclic pursuit in a plane, J. Math. Phys. 20 (November 1979) 2212-2216.

[12] F. Behroozi and R. Gagnon, A computer-assisted study of pursuit in a plane, Amer. Math. Monthly (October 1975) 804-812.

[13] M.S. Klamkin and D.J. Newman, Cyclic pursuit or “The Three Bugs Problem”, Amer. Math. Monthly (June 1971) 631-639.

[14] DOI: https://www.jstor.org/stable/2316570

[15] O. Hajek, Pursuit Games: An Introduction to the Theory and Applications of Differential Games of Pursuit and Evasion, New York: Academic Press (1975).

[16] A.L.Yalovets. On the formulation of the pursuit problem on the plane // Programming problems. 2013. No. 2, 95p.- 100. ISSN 1727-4907.

[17] S.V.Pashko, A.L.Yalovets. Numerical methods for solving pursuit optimization problems // Problems of programming. 2013, No. 4, pp. 74 - 85. ISSN 1727-4907.

[18] A.S.Kuchkarov, B.B.Rikhsiev. A Pursuit Problem under Phase Constraints // Automation and Remote Control, 2001, 62(8):1259-1262;

[19] https://doi.org/10.1023/A:1010297326898

[20] L.A.Petrosyan. Differential Games of Pursuit (World Scientific Publisher, Singapore, London, 1993, 340 p. https://doi.org/10.1142/1670

[21] Isaacs R., Differential Games, John Wiley and Sons, New York, 1967, p. 260.

[22] David C. Arney. The Chase Problem (Part 1). pp. 109 – 128.

[23] R. Craig Conlter. Implementation of the Pure Pursuit Path Tracking Algorithm. CMU-RI-TR-92-01, The Robotics Institute Carnegie Mellon University Pittsburgh, Pennsylvania 15213, January 1992

[24] A. Merz. The game of two identical cars // Journal of Optimization Theory and Applications, 1972, V.9, pp. 324 – 343. https://doi.org/10.1007/BF00932932

[25] P. Hagedorn, J.V. Breakwell. A Differential Game with Two Pursuers and One Evader // Multicriteria Decision Making and Differential Games,1976, pp. 443 – 457; https://doi.org/10.1007/978-1-4615-8768-2_27

[26] V.P. Legeza, O.M. Neshchadym. The problem of fugitive interception on a plane in the one-dimensional vector field of a moving fluid. Scientific Notes of the V.I. Vernadsky TNU. Series: Technical Sciences. Volume 34 Scientific Notes of the V.I. Vernadsky TNU. Series: Technical Sciences. Volume 34 (73), № 3, 2023. – pp.168 – 174. https://doi.org/10.32782/2663-5941/2023.3.1/27

[27] V. Legeza, L.Oleshchenko. Paradoxical Properties Research of the Pursuit Curve in the Intercepting a Fugitive Problem. Z. Hu et al. (Eds.): ICCSEEA 2023, LNDECT 181, pp. 670–681, 2023. https://doi.org/10.1007/978-3-031-36118-0_60

[28] Legeza V. P. The technique of applying the Laplace transform in the pursuit of the "Four mice" / Legeza V. P., Sayuk D., Neshchadym O. M. // Applied mathematics and computing AMC' 2023: a collection of abstracts of reports of the Sixteenth Conference of Master's and Postgraduate Students (November 28-30, 2023, Kyiv, Ukraine). - Kyiv: Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute, 2023. - pp. 502-506.