МОДИФІКАЦІЯ НЕЙРОМЕРЕЖЕВОГО МЕТОДУ SPINN ДЛЯ НАБЛИЖЕНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ МІШАНОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ В ЕЛІПТИЧНІЙ ОБЛАСТІ

Проблематика. Параболічні диференціальні рівняння є математичними моделями інженерії, призначеними для дослідження широкого кола прикладних задач. Це приводить до необхідності розробки наближених методів їх розв’язання. Класичні чисельні методи скінченних різниць та скінченних елементів мають складність застосування для непрямокутної геометрії області зміни просторових координат та для областей великих розмірностей. Це стає проблемою навіть у двовимірному випадку. Нейромережеві методи, наприклад Physics-informed neural network (PINN), можуть бути застосовані до задач із складною геометрією області, але все ще страждають від проблеми збільшення розмірності області. Мета дослідження. Розробити модифікований підхід на основі Separable PINN (SPINN) для наближеного розв’язання мішаної задачі для рівняння теплопровідності з крайовою умовою Діріхле в еліптичній області. Методика реалізації. Застосування методу SPINN після попереднього перенесення крайової задачі у циліндричну систему координат та застосування модифікацій функції втрат та способу генерації точок для уникнення проблем, пов’язаних з особливістю в нулі у операторі Лапласа в полярних координатах. Результати дослідження. Розроблено модифікацію методу SPINN для наближеного розв’язання мішаної задачі для рівняння теплопровідності з крайовою умовою Діріхле в еліптичній області. Запропонований підхід реалізовано на прикладах разом із методом скінченних різниць та PINN для порівняння отриманих результатів. У кожному випадку SPINN показав менші значення відносної похибки та менший час обчислення порівняно і з методами скінченних різниць та PINN. Висновки. Описане застосування архітектури SPINN до розв'язання мішаної задачі для рівняння теплопровідності дозволяє оптимізувати інженерне моделювання теплофізичних явищ у пластинах еліптичної форми. Розроблена модифікація методу SPINN показала на прикладах кращі значення відносної похибки (у 1.25 рази менше у першому прикладі та у 1.15 рази менше у другому прикладі) за значно менший час обчислення (у 5 разів менший у першому прикладі та у 2 рази менший у другому) порівняно з PINN. Порівняно із методом скінченних різниць різниця ще більш помітна. Такий результат підтверджує ефективність методу і дає перспективи для подальшого його застосування до крайових задач в криволінійних областях з довільними гладкими межами.