Перейти до вмісту
Наукові вісті КПІ
ISSN 2617-5509 · e‑ISSN 2663-7472 Відкритий доступ · CC BY 4.0
Т. · № 5-6 · 2019 гру 19, 2019 статті

КРИВА СПУСКУ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ ЗА НАЙМЕНШИЙ ЧАС ПО ТРАНСЦЕНДЕНТНІЙ ПОВЕРХНІ В ОДНОРІДНОМУ ВЕРТИКАЛЬНОМУ ГРАВІТАЦІЙНОМУ ПОЛІ

VL
Viktor P. Legeza Відповідальний Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute, Ukraine Україна
OA
Oleksiy V. Atamaniuk Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute, Ukraine Україна
Опублікованогру 19, 2019
PDF
НВКПІ 5-6 ТОМ · 5-6
ТОМ · № 5-6 · 2019 Переглянути випуск

Анотація

Проблематика. В статті розглядається оригінальна варіаційна задача про брахістохронний рух матеріальної точки на циклоїдальній поверхні між двома заданими точками у вертикальному однорідному гравітаційному полі. Новизна і актуальність роботи пояснюються вибором трансцендентної поверхні, оскільки раніше рух матеріальної точки розглядався на алгебричних поверхнях другого порядку. Мета дослідження. Знайти криву на трансцендентній поверхні, рухаючись по якій від однієї заданої точки (точки старту) до іншої заданої точки (точки фінішу) по цій поверхні без тертя матеріальна точка здійснить такий перехід за мінімальний час. Трансцендентна поверхня має за напрямну криву циклоїду, що лежить в одній із координатних площин, а її твірні перпендикулярні цій площині. Методика реалізації. Для досягнення зазначеної мети в роботі використовувались класичні методи варіаційного числення (рівняння Ейлера–Лагранжа), а також класичний метод інтегрування звичайних диференціальних рівнянь (метод Бернуллі). Результати дослідження. Побудовано функціонал часу, з використанням якого аналітично виведено диференціальні рівняння просторової брахістохрони, що лежить на трансцендентній поверхні. Після інтегрування в замкненій формі отримано алгебричні рівняння просторової брахістохрони у параметричній формі. Результати дослідження проілюстровано графічно: наведено проекції траєкторії брахістохрони на координатні площини OXY і OXZ . Визначено кути нахилу оптимальної траєкторії у точці старту. Наведено порівняльний аналіз часу швидкодії в процесі руху матеріальної точки вздовж двох траєкторій: вздовж брахістохрони та вздовж альтернативної траєкторії. Висновки. Запропонований підхід дає змогу наперед прокласти такий логістичний маршрут матеріальної точки на заданій трансцендентній поверхні між двома фіксованими точками, який забезпечить мінімальний час переміщення між ними в однорідному вертикальному полі тяжіння. В цьому разі екстремальною траєкторією не обов’язково буде найкоротша лінія, яка лежить на поверхні і з’єднує дві задані точки (старту і фінішу).

Ключові слова

#Варіаційна задача #Брахістохронний рух #Трансцендентна поверхня #Функціонал часу #Циклоїда #Рівняння Ейлера–Лагранжа #Час швидкодії

Посилання

  1. V.P. Legeza, “Cycloidal pendulum with a rolling cylinder”, Mechanics of Solids , vol. 47, no. 4, pp. 380–384, 2012. doi: 10.3103/S0025654412040024
  2. V.P. Legeza, “Brachistochrone for a rolling cylinder”, Mechanics of Solids , vol. 45, no. 1, pp. 27–33, 2010. doi: 10.3103/s002565441001005x
  3. V.P. Legeza and S.G. Savchuk, “Brachistochronous motion of the material point on an inclined plane a uniform gravitational field”, KPI Science News , no. 2, pp. 15–23, 2019. doi: 10.20535/kpi-sn.2019.2.167495
  4. V.P. Legeza and O.V. Atamaniuk, “The Brachistochronic movement of a material point in the horizontal vector field of a mobile fluid”, KPI Science News , no. 3, pp. 44–51, 2019, doi: 10.20535/kpi-sn.2019.3.175735
  5. W. Dunham, Journey Through Genius . New York: Penguin Books, 1991, 304 p.
  6. L.P. Eltsgolts, Differential Equations and Variational Calculus . Moscow, SU: Nauka, 1974, 432 p.
  7. H. Erlichson, “Johann Bernoulli’s brachistochrone solution using fermat’s principle of least time”, Eur. J. Phys. , vol. 20, no. 5, pp. 299–304, 1999. doi: 10.1088/0143-0807/20/5/301
  8. N. Ashby et al. , “Brachistochrone with Coulomb friction”, Am. J. Phys. , vol. 43, no. 10, pp. 902–906, 1975. doi: 10.1119/1.9976
  9. A.M.A. van der Heijden and J.D. Diepstraten, “On the brachistochrone with dry friction”, Int. J. Non-Linear Mechanics , vol. 10, no. 2, pp. 97–112, 1975. doi: 10.1016/0020-7462(75)90017-7
  10. S. Lipp, “Brachistochrone with Coulomb friction”, SIAM J. Control Optim. , vol. 35, no. 2, pp. 562–584, 1997. doi: 10.1137/S0363012995287957
  11. V. Covic and M. Veskovic, “Brachistochrone on a surface with Coulomb friction”, Int. J. Non-Linear Mechanics , vol. 43, no. 5, pp. 437–450, 2008. doi: 10.1016/j.ijnonlinmec.2008.02.004
  12. J.C. Hayen, “Brachistochrone with Coulomb friction”, Int. J. Non-Linear Mechanics , vol. 40, no. 8, pp. 1057–1075, 2005. doi: 10.1016/j.ijnonlinmec.2005.02.004
  13. B. Vratanar and M. Saje, “On analytical solution of the brachistochrone problem in a non-conservative field”, Int. J. NonLinear Mechanics , vol. 33, no. 3, pp. 489–505, 1998. doi: 10.1016/S0020-7462(97)00026-7
  14. H.A. Yamani and A.A. Mulhem, “A cylindrical variation on the brachistochrone problem”, Am. J. Phys. , vol. 56, no. 5, pp. 467–469, 1988. doi: 10.1119/1.15755
  15. D. Palmieri, “The brachistochrone problem, a new twist to an old problem”, Undergraduate Honors Thesis, Millersville University of PA, 1996.
  16. P.K. Aravind, “Simplified approach to brachistochrone problem”, Am. J. Phys. , vol. 49, no. 9, pp. 884–886, 1981. doi: 10.1119/1.12389
  17. H.H. Denman, “Remarks on brachistochrone-tautochrone problem”, Am. J. Phys. , vol. 53, no. 3, pp. 224–227, 1985. doi: 10.1119/1.14125
  18. G. Venezian, “Terrestrial brachistochrone”, Am. J. Phys. , vol. 34, no. 8, p. 701, 1966. doi: 10.1119/1.1973207
  19. A.S. Parnovsky, “Some generalisations of the brachistochrone problem”, Acta Physica Polonica , Suppl. A 93, pp. 5–55, 1998.
  20. G. Tee, “Isochrones and brachistochrones”, Neural, Parallel Sci. Comput. , vol. 7, pp. 311–342, 1999.
  21. H.F. Goldstein and C.M. Bender, “Relativistic brachistochrone”, J. Math. Phys. , vol. 27, no. 2, pp. 507–511, 1986.
  22. G.M. Scarpello and D. Ritelli, “Relativistic brachistochrone under electric or gravitational uniform field”, Z. Angew. Math. Mech. , vol. 86, no. 9, pp. 736–743, 2006. doi: 10.1002/zamm.200510279
  23. J. Gemmer et al ., “Generalizations of the brachistochrone problem”, Pi Mu Epsilon J. , vol. 13, no. 4, pp. 207–218, 2011.
  24. S. Mertens and S. Mingramm, “Brachistochrones with loose ends”, Eur. J. Phys. , vol. 29, pp. 1191–1199, 2008. doi: 10.1088/0143-0807/29/6/008
  25. E. Rodgers, “Brachistochrone and tautochrone curves for rolling bodies”, Am. J. Phys. , vol. 14, pp. 249–252, 1946. doi: 10.1119/1.1990827
  26. A. Obradovic et al. , “The brachistochronic motion of a vertical disk rolling on a horizontal plane without slip”, Theor. Appl. Mech. , vol. 44, no. 2, pp. 237–254, 2017. doi: 10.2298/TAM171002015O
  27. S.S. Gurram et al. , “On the brachistochrone of a fluid-filled cylinder”, J. Fluid Mech. , vol. 865, pp. 775–789, 2019. doi: 10.1017/jfm.2019.70
§ 06 — Пов'язані

Схожі статті в цьому журналі

Пов'язані рецензовані дослідження, опубліковані в цьому журналі.
Усі випуски

МЕТОДИКА ФОРМУВАННЯ ІНФОРМАТИВНОГО ПРОСТОРУ ОЗНАК ТЕХНІЧНИХ ІНДИКАТОРІВ ФІНАНСОВИХ ПРОЦЕСІВ НА ОСНОВІ НЕЙРОМЕРЕЖЕВИХ МОДЕЛЕЙ

Роман Тертичний, Денис Чупрін, Петро Бідюк

Проблематика. Фінансові часові ряди характеризуються нелінійністю, нестаціонарністю та високим рівнем шуму, що суттєво ускладнює їх моделювання та прогнозування.…

#методика формування інформативного простору ознак #технічні індикатори #волатильність Паркінсона #нейронні мережі
10.20535/kpisn.2026.3.359610

МЕТОДИ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ЦІЛІСНОСТІ ОБРОБКИ ТА ПЕРЕДАЧІ ДАНИХ У ПРОМИСЛОВИХ СИСТЕМАХ АВТОМАТИЗАЦІЇ

Ярослав Корпань, Євген Федоров, Ольга Нечипоренко

Проблематика. Сучасні промислові системи контролю характеризуються високим рівнем інтеграції інформаційних і фізичних процесів та використанням розподілених…

#промислові системи автоматизації #SCADA-системи #цілісність даних #кібербезпека ICS
10.20535/kpisn.2026.3.361520

МЕТОДИКА ПАРАМЕТРИЧНОГО СИНТЕЗУ ЗУМ-АФОКАЛЬНИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ НЕРУХОМИХ ВАРІОЛІНЗ

Ігор Г. Чиж

Проблематика Зум-оптичні системи, в яких використовуються механічно нерухомі електрично керовані варіолінзи, не можуть вважатися такими, що мають нерухомі оптичні…

#зум-афокальні системи #головні точки варіолінз #синтез зум-афокальних систем #стабільна афокальність зум-системи
10.20535/kpisn.2026.3.351645

Статті цього автора (цих авторів), які найбільше читають

Схожі статті

1-10 з 29

Ви також можете розпочати розширений пошук схожих статей для цієї статті.