Перейти до вмісту
Наукові вісті КПІ
ISSN 2617-5509 · e‑ISSN 2663-7472 Відкритий доступ · CC BY 4.0
Т. · № 2 · 2019 тра 17, 2019 статті

БРАХІСТОХРОННИЙ РУХ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ НА ПОХИЛІЙ ПЛОЩИНІ В ОДНОРІДНОМУ ГРАВІТАЦІЙНОМУ ПОЛІ

VL
Viktor P. Legeza Відповідальний Igor Sikorsky Kyiv Polytechnic Institute, Ukraine Україна
SS
Svitlana G. Savchuk National University of Life and Environmental Sciences of Ukraine, Ukraine Україна
Опублікованотра 17, 2019
PDF
НВКПІ 2 ТОМ · 2
ТОМ · № 2 · 2019 Переглянути випуск

Анотація

Проблематика. Варіаційна задача, яка поставлена і розв’язана в цій роботі, є природним узагальненням класичної задачі Бернуллі про пошук брахістохрони у вертикальній площині. В запропонованій постановці вона є новою і актуальною з практичною точки зору в таких галузях, як машинобудування, транспорт і логістика, спортивно-масові заходи тощо. Мета дослідження. На похилій площині знайти таку криву, рухаючись вздовж якої без початкової швидкості в однорідному гравітаційному полі з однієї заданої точки в іншу задану точку цієї площини матеріальна точка здійснить такий перехід за мінімальний час. Методика реалізації. Для досягнення зазначеної мети в роботі використовувались класичні методи варіаційного числення, а саме рівняння Ейлера. Результати дослідження. Побудовано функціонал часу, з використанням якого аналітично виведено диференціальне рівняння просторової брахістохрони, що лежить на похилій площині. Після його інтегрування в замкненій формі отримано алгебричне рівняння брахістохрони. Результати дослідження проілюстровано графічно. У стартовій точці M брахістохрони встановлено напрямок вектора початкової швидкості матеріальної точки. Проведено порівняльний аналіз швидкодії для оптимальної кривої – брахістохрони – та двох альтернативних шляхів руху матеріальної точки. Висновки. Доведено, що проекція брахістохрони на площину OXZ не є циклоїдою. Показано, що вектор початкової швидкості матеріальної точки в стартовій точці M брахістохрони є перпендикулярним осі абсцис. Встановлено, що мінімальний час швидкодії залежить лише від параметра a похилої площини, коефіцієнта k дисипації енергії, а також від координат стартової M і фінішної N точок, через які проходить брахістохрона.

Ключові слова

#Варіаційна задача #Брахістохрона #Циклоїда #Рівняння Ейлера #Функціонал часу #Час швидкодії

Посилання

  1. J. Bernoulli, “Problema novum ad cujus solutionem mathematici invitantur”, Acta Eruditorum , vol. 15, pp. 264–269, 1696.
  2. W. Dunham, Journey Through Genius . New York: Penguin Books, 1991, 304 p.
  3. I.M. Gelfand and S.V. Fomin, Calculus of Variations . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc., 1963, 232 p.
  4. H. Erlichson, “Johann Bernoulli’s brachistochrone solution using fermat’s principle of least time”, Eur. J. Phys. , vol. 20, no. 5, pp. 299–304, 1999. doi: 10.1088/0143-0807/20/5/301
  5. N. Ashby et al. , “Brachistochrone with Coulomb friction”, Am. J. Phys. , vol. 43, no. 10, pp. 902–906, 1975. doi: 10.1119/1.9976
  6. A.M.A. van der Heijden and J.D. Diepstraten, “On the brachistochrone with dry friction”, Int. J. Non-Linear Mechanics , vol. 10, no. 2, pp. 97–112, 1975. doi: 10.1016/0020-7462(75)90017-7
  7. S. Lipp, “Brachistochrone with Coulomb friction”, SIAM J. Control Optim . , vol. 35, no. 2, pp. 562–584, 1997. doi: 10.1137/S0363012995287957
  8. V. Covic and M. Veskovic, “Brachistochrone on a surface with Coulomb friction”, Int. J. Non-Linear Mechanics , vol. 43, no. 5, pp. 437–450, 2008. doi: 10.1016/j.ijnonlinmec.2008.02.004
  9. J.C. Hayen, “Brachistochrone with Coulomb friction”, Int. J. Non-Linear Mechanics , vol. 40, no. 8 , pp. 1057–1075, 2005. doi: 10.1016/j.ijnonlinmec.2005.02.004
  10. B. Vratanar and M. Saje, “On analytical solution of the brachistochrone problem in a non-conservative field”, Int. J. Non-Linear Mechanics , vol. 33, no. 3, pp. 489–505, 1998. doi: 10.1016/S0020-7462(97)00026-7
  11. H.A. Yamani and A.A. Mulhem, “A cylindrical variation on the brachistochrone problem”, Am. J. Phys , vol. 56, no. 5, pp. 467–469, 1988. doi: 10.1119/1.15755
  12. D. Palmieri, “The brachistochrone problem, a new twist to an old problem”, Undergraduate Honors Thesis, Millersville University of PA, 1996.
  13. P.K. Aravind, “Simplified approach to brachistochrone problem”, Am . J . Phys . , vol. 49, no. 9, pp. 884–886, 1981. doi: 10.1119/1.12389
  14. H.H. Denman, “Remarks on brachistochrone-tautochrone problem”, Am. J. Phys. , vol. 53, no. 3, pp. 224–227, 1985. doi: 10.1119/1.14125
  15. G. Venezian, “Terrestrial brachistochrone”, Am. J. Phys. , vol. 34, no. 8, p. 701, 1966. doi: 10.1119/1.1973207
  16. A.S. Parnovsky, “Some generalisations of the brachistochrone problem”, Acta Physica Polonica , A 93 Supplement, pp. 5–55, 1998.
  17. G. Tee, “Isochrones and brachistochrones”, Neural, Parallel Sci. Comput . , vol. 7, pp. 311–342, 1999.
  18. H.F. Goldstein and C.M. Bender, “Relativistic brachistochrone”, J. Math. Phys. , vol. 27, no. 2, pp. 507–511, 1986.
  19. G.M. Scarpello and D. Ritelli, “Relativistic brachistochrone under electric or gravitational uniform field”, Z. Angew. Math. Mech. , vol. 86, no. 9, pp. 736–743, 2006. doi: 10.1002/zamm.200510279
  20. J. Gemmer et al. , “Generalizations of the brachistochrone problem”, Pi Mu Epsilon J. , vol. 13, no. 4, pp. 207–218, 2011.
  21. S. Mertens and S. Mingramm, “Brachistochrones with loose ends”, Eur. J. Phys. , vol. 29, pp. 1191–1199, 2008. doi: 10.1088/0143-0807/29/6/008
  22. E. Rodgers, “Brachistochrone and tautochrone curves for rolling bodies”, Am. J. Phys. , vol. 14, pp. 249–252, 1946. doi: 10.1119/1.1990827
  23. V.P. Legeza, “Quickest-descent curve in the problem of rolling of a homogeneous cylinder”, Int. Appl. Mech. , vol. 44, no. 12, pp. 1430–1436, 2008. doi: 10.1007/s10778-009-0149-z
  24. V.P. Legeza, “Brachistochrone for a rolling cylinder”, Mechanics of Solids , vol. 45, no. 1, pp. 27–33, 2010. doi: 10.3103/s002565441001005x
  25. V.P. Legeza, “Cycloidal pendulum with a rolling cylinder”, Mechanics of Solids , vol. 47, no. 4, pp. 380–384, 2012. doi: 10.3103/S0025654412040024
  26. L.D. Akulenko, “The brachistochrone problem for a disk”, J. Appl. Math. Mech. , vol. 73, no. 4, pp. 371–378, 2009. doi: 10.1016/j.jappmathmech.2009.08.015
  27. A. Obradovic et al. , “The brachistochronic motion of a vertical disk rolling on a horizontal plane without slip”, Theor . Appl . Mech . , vol. 44, no. 2, pp. 237–254, 2017. doi: 10.2298/TAM171002015O
  28. S.S. Gurram et al. , “On the brachistochrone of a fluid-filled cylinder”, J. Fluid Mech. , vol. 865, pp. 775–789, 2019. doi: 10.1017/jfm.2019.70
  29. L.P. Eltsgolts, Differential Equations and Variational Calculus . Moscow, SU: Nauka, 1974, 432 p.
§ 06 — Пов'язані

Схожі статті в цьому журналі

Пов'язані рецензовані дослідження, опубліковані в цьому журналі.
Усі випуски

МЕТОДИ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ЦІЛІСНОСТІ ОБРОБКИ ТА ПЕРЕДАЧІ ДАНИХ У ПРОМИСЛОВИХ СИСТЕМАХ АВТОМАТИЗАЦІЇ

Ярослав Корпань, Євген Федоров, Ольга Нечипоренко

Проблематика. Сучасні промислові системи контролю характеризуються високим рівнем інтеграції інформаційних і фізичних процесів та використанням розподілених…

#промислові системи автоматизації #SCADA-системи #цілісність даних #кібербезпека ICS
10.20535/kpisn.2026.3.361520

МЕТОДИКА ПАРАМЕТРИЧНОГО СИНТЕЗУ ЗУМ-АФОКАЛЬНИХ СИСТЕМ НА ОСНОВІ НЕРУХОМИХ ВАРІОЛІНЗ

Ігор Г. Чиж

Проблематика Зум-оптичні системи, в яких використовуються механічно нерухомі електрично керовані варіолінзи, не можуть вважатися такими, що мають нерухомі оптичні…

#зум-афокальні системи #головні точки варіолінз #синтез зум-афокальних систем #стабільна афокальність зум-системи
10.20535/kpisn.2026.3.351645

МОДИФІКАЦІЯ НЕЙРОМЕРЕЖЕВОГО МЕТОДУ SPINN ДЛЯ НАБЛИЖЕНОГО РОЗВ'ЯЗАННЯ МІШАНОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ В ЕЛІПТИЧНІЙ ОБЛАСТІ

Валерій Лось, Олександр Ряхін

Проблематика. Параболічні диференціальні рівняння є математичними моделями інженерії, призначеними для дослідження широкого кола прикладних задач. Це приводить до…

#рівняння теплопровідності #мішана параболічна задача #еліптична область #фізико-інформативна нейронна мережа
10.20535/kpisn.2026.3.367316

Статті цього автора (цих авторів), які найбільше читають

Схожі статті

1-10 з 23

Ви також можете розпочати розширений пошук схожих статей для цієї статті.